《引力和宇宙学：广义相对论的原理和应用》读书笔记一
《引力和宇宙学：广义相对论的原理和应用》读书笔记（一）
作者：二噁英
背景嘛，发现宇宙学方向的课题挺好玩的，而且当前学习阶段用到张量内容也挺多的，就学着玩玩，做专栏以勉励自己吧！翻阅图书馆关于宇宙学的书，，里面40%民科书，50%科普书，正儿八经的的中文教材少得可怜。而图书馆的广义相对论的书也多是老旧书籍，但是这本新出版的《引力与宇宙学》真的让我眼前一亮。在学习这本书的时候，我还会辅以其他的书比如梁老先生的《微分几何与广义相对论》、A First Course in GENERAL RELATIVITY 等，希望能降低学习曲线吧（苦笑），毕竟知识水平有限。
“但是，历史故事构成了紧靠时间之河的一道非常坚固的堡垒，在一定程度上控制着它不可抗拒的流淌和在前间的所作的一切，由于历史的尽力管控，它得以安全合流，不致跌入被遗忘的深渊。”
——安娜 科穆宁，《阿列克塞传》
翻开书的第一章就看到了这段话，之前常看稚嫩的魔法师做的视频，看到《阿莱克修斯传》出现在第一章扉页，感觉有种现实和想象融为一体的震撼感！
发完感慨后，直接从第二章开始吧！
光速是一个常数，取光速为1，做无量纲化，虽然初次接触会有些不适，但是用多了就会习惯区别于SI的量纲。
牛顿运动定律对伽利略变换不变，但麦克斯韦方程组伽利略变换则会有矛盾。而在洛伦兹变化下，这一矛盾被解决了。
洛伦兹变换具有如下形式 \[ x^{'\alpha}=\Lambda^{\alpha}_{\beta}x^{\beta}+a^{\alpha} \tag{1}\\ \] 其中 \(a^{\alpha}\) 与 \(\Lambda^{\alpha}_{\beta}\) 为常数，且满足 \[ \Lambda^{\alpha}_{\gamma}\Lambda^{\beta}_{\delta}\eta_{\alpha\beta}=\eta_{\gamma\delta}\tag{2}\\ \]
其中 \[ \eta_{\alpha\beta}=\left\{ \begin{aligned} 1& & \alpha=\beta\neq0\\ -1& & \alpha=\beta=0\\ 0&&\alpha\neq\beta\\ \end{aligned} \right.\\ \] \(x^0\) 代表时间t。
定义任一矢量v,指标在上 \(V^{\alpha}\) 为逆变矢量，指标在下为协变矢量 \(V_{\alpha}\)，矢量视为一阶张量，则逆变张量和协变张量的定义一致
任何指标一次在上，一次在下则理解为求和，遍历不同指标。
如
\[ x^{'\alpha}=\Lambda^{\alpha}_{\beta}x^{\beta}+a^{\alpha}=\Lambda^{\alpha}_{0}x_{0}+\Lambda^{\alpha}_{1}x_{1}+\Lambda^{\alpha}_{2}x_{2}+\Lambda^{\alpha}_{3}x_{3}+a_{\alpha} \\ \] 洛伦兹变换的重要标志是它保持固有时不变
\[ d \tau^{2}=d t^{2}-\sum_{i}dx_{i}^{2}=-\eta_{\alpha\beta}dx^{\alpha}dx^{\beta}\tag{3}\\ \] 洛伦兹变换后的固有时
\[ d\tau^{'2}=-\eta_{\alpha\beta}\Lambda^{\alpha}_{\gamma}\Lambda^{\beta}_{\delta}dx^{\gamma}dx^{\delta}=-\eta_{\gamma\delta}dx^{\gamma}dx^{\delta}=d\tau^{2}\\ \] 固有时的导入解释了光速在全部惯性系中数值相同的现象
以上内容看起来有点像是逻辑上的循环论证，但是关于狭义相对论的具体导出，在大一力学和电磁学都有导出过几次，这里就不再赘述。
我们假定一个观测者在O观测到一个粒子静止，而在 \(O'\) 中以V的速度运动 \[ dx^{'\alpha}=\Lambda^{\alpha}_{0}dx^{0}\\ dt^{'}=\Lambda^{\alpha}_{0}dt \] 注意到 \(dt=dx^0\) 做个简单的除法会有 \[ v_{i}\Lambda^{0}_{0}=\Lambda^{i}_{0}\tag{4}\\ \] (2)式取\(\gamma和{\delta}\)为0会有
\[ \Lambda_{0}^{\alpha}\Lambda^{\beta}_{0}\eta_{\alpha\beta}=\sum_{i=1,2,3}(\Lambda^{i}_{0})^{2}-(\Lambda^{0}_{0})^{2}=-1\\ \] 代入(4)式，会有
\[ \begin{align} \Lambda^{0}_{0}=\frac{1}{\sqrt{1-v^{2}}}\\ \Lambda^{i}_{0}=\frac{v_{i}}{\sqrt{1-v^{2}}}\\ \end{align}\\ \] 定义 \(\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^{2}}}\) ,我们就导出了洛伦兹变换群的一点特征。
正其次的洛伦兹变换有子群是由转动构成的。 \(\Lambda^{\alpha}_{\beta}\) 把一个粒子从静止变为速度v，则有任意转动矩阵R使粒子由静止变为速度v
我们会有 \[ \begin{align} \Lambda^{i}_{j}&=\delta_{ij}+v_{i}v_{j}\frac{(\gamma-1)}{v^{2}}\\ \Lambda^{0}_{j}&=\gamma v_{j} \end{align}\\ \] 我们考虑一个只沿x方向的粒子 \[ \Lambda = \left( \begin{array}{l} \gamma&{\gamma}v&0&0\\ {\gamma}v&{\gamma}&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{array} \right) \] 先引入能量-动量四维矢量 \[ p^{\alpha}=m\frac{dx^{\alpha}}{d\tau}\tag{5} \] 牛二可以写成 \[ \frac{dp^{\alpha}}{d\tau}=f^{\alpha}\\ \]
\[ p^{\alpha}空间分量构成空间动量 \\p=m\gamma v \]
\[ p^{\alpha}的时间分量即为能量\\ p^{0}=m\gamma \]
\[ E(p)=\sqrt{p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}\\ \]
对于无质量粒子来说 \(E=pc\)
注意到(5)式，有 \[ \eta_{\alpha\beta}p^{\alpha}p^{\beta}=-m^{2} \] 由能量-动量四维矢量，引出其密度和流密度 \[ T^{\alpha\beta}(x)=\sum_{n}p_{n}^{\alpha}\frac{dx_{n}^{\beta}}{dt}\delta^{3}(x-x_n(t))\tag{6}\\ \] 由 \(p_{n}^{\beta}=E_{n}v_{n}^\beta\) (6)可以写成 \[ T^{\alpha\beta}(x)=\sum_{n}\frac{p_{n}^{\alpha}p_{n}^{\beta}}{E_n}\delta^{3}(x-x_n(t))\\ \] 导出力密度 \[ \frac{\partial}{\partial x^\beta}T^{\alpha\beta}=G^{\alpha}\\ \]